Исследование логических элементов. Исследование логических элементов и синтез логических схем Краткие теоретические сведения
Отправить свою хорошую работу в базу знаний просто. Используйте форму, расположенную ниже
Студенты, аспиранты, молодые ученые, использующие базу знаний в своей учебе и работе, будут вам очень благодарны.
HTML-версии работы пока нет.
Cкачать архив работы можно перейдя по ссылке, которая находятся ниже.
Подобные документы
Основные аксиомы и тождества алгебры логики. Аналитическая форма представления булевых функций. Элементарные функции алгебры логики. Функции алгебры логики одного аргумента и формы ее реализации. Свойства, особенности и виды логических операций.
реферат , добавлен 06.12.2010
Системы цифровой обработки информации. Понятие алгебры Буля. Обозначения логических операций: дизъюнкция, конъюнкция, инверсия, импликация, эквивалентность. Законы и тождества алгебры Буля. Логические основы ЭВМ. Преобразование структурных формул.
презентация , добавлен 11.10.2014
Булевы алгебры – решетки особого типа, применяемые при исследовании логики (как логики человеческого мышления, так и цифровой компьютерной логики), а также переключательных схем. Минимальные формы булевых многочленов. Теоремы абстрактной булевой алгебры.
курсовая работа , добавлен 12.05.2009
Свойства операций над множествами. Формулы алгебры высказываний. Функции алгебры логики. Существенные и фиктивные переменные. Проверка правильности рассуждений. Алгебра высказываний и релейно-контактные схемы. Способы задания графа. Матрицы для графов.
учебное пособие , добавлен 27.10.2013
Основы формальной логики Аристотеля. Понятия инверсии, конъюнкции и дизъюнкции. Основные законы алгебры логики. Основные законы, позволяющие производить тождественные преобразования логических выражений. Равносильные преобразования логических формул.
презентация , добавлен 23.12.2012
Основные понятия алгебры логики. Дизъюнктивные и конъюнктивные нормальные формы. Сущность теоремы Шеннона. Булевы функции двух переменных. Последовательное и параллельное соединение двух выключателей. Свойства элементарных функций алгебры логики.
контрольная работа , добавлен 29.11.2010
Понятие алгебры логики, ее сущность и особенности, основные понятия и определения, предмет и методика изучения. Законы алгебры логики и следствия из них, методы построения формул по заданной таблице истинности. Формы представления булевых функций.
учебное пособие , добавлен 29.04.2009
Для описания алгоритма работы логических схем используется математический аппарат алгебры логики. Алгебра логики оперирует двумя понятиями: событие истинно (логическая "1") или событие ложно (логический "0"). События в алгебре логики могут быть связаны двумя операциями: сложения (дизъюнкции), обозначаемой знаком U или +, и умножения (конъюнкции), обозначаемой знаком & или точкой. Отношение эквивалентности обозначается знаком =, а отрицание – чертой или апострофом (") над соответствующим символом.
Логическая схема имеет n входов, которым соответствуют n входных переменных X 1 , … X n и один или несколько выходов, которым соответствуют выходные переменные Y 1 …. Y m . Входные и выходные переменные могут принимать два значения X i = 1 или X i = 0.
Переключающая функция (ПФ) логической схемы связывает при помощи логических операций входные переменные и одну из выходных переменных. Число ПФ равно числу выходных переменных, при этом ПФ может принимать значения 0 или 1.
Логические операции . Наибольший практический интерес представляют следующие элементарные операции (функции).
Логическое умножение (конъюнкция),
Логическое сложение (дизъюнкция),
Логическое умножение с инверсией,
Логическое сложение с инверсией,
Суммирование по модулю 2,
Равнозначность.
Логические элементы . Существуют цифровые интегральные микросхемы, соответствующие основным логическим операциям. Логическому умножению соответствует логический элемент "И". Логическому сложению соответствует логический элемент "ИЛИ". Логическому умножению с инверсией - логический элемент "И-НЕ". Логическому сложению с инверсией – логический элемент "ИЛИ-НЕ". Операции инверсии соответствует логический элемент "НЕ". Существуют микросхемы, реализующие и многие другие логические операции.
Таблицы истинности . Основным способом задания ПФ является составление таблицы истинности, в которой для каждого набора входных переменных указывается значение ПФ (0 или 1). Таблица истинности для логического элемента "НЕ" (логическая операция) имеет вид
| Вход Х | Выход Y |
1.1. Исследование характеристик логического элемента "ИЛИ-НЕ"
Схема исследования логического элемента "ИЛИ-НЕ", представлена на рис. 1.
На схеме рис. 1 входы логического элемента "ИЛИ-НЕ" подключены к генератору слов, формирующего последовательность двоичных чисел 00, 01, 10 и 11. Правый (младший) двоичный разряд каждого числа соответствует логической переменной Х1, левый (старший)– логической переменной Х2. К входам логического элемента также подключены логические пробники , которые загораются красным светом при поступлении на этот вход логической "1". Выход логического элемента подключен к логическому пробнику, который загорается красным светом при появлении на выходе логической "1".
Построение схемы исследования логического элемента "ИЛИ-НЕ"
Запустите при помощи ярлыка на рабочем столе Windows программу Electronics Workbench .
Построение схемы рис. 1 произведем в два этапа: сначала разместим как показано на рис. 1 пиктограммы элементов, а затем последовательно соединим их.
1. Щелкните по кнопке
панели библиотек компонентов и контрольно-измерительных приборов. Из появившегося окна логических элементов вытащите пиктограмму логического элемента NOR ("ИЛИ-НЕ").
2. Щелкните по кнопке
Из появившегося окна последовательно вытащите пиктограммы логических пробников .
3. Разверните логические пробники, так как показано на рис. 1. Для этого на панели функций воспользуйтесь кнопкой поворота
4. Щелкните по кнопке
панели библиотек компонентов и контрольно-измерительных приборов. Из появившегося окна индикаторов вытащите пиктограмму генератора слов
5. Расположите методом буксировки пиктограммы элементов так, как показано на рис. 1 и соедините элементы согласно рисунку.
6. Двойным щелчком кнопки мыши откройте лицевую панель генератора слов .
В левой части панели генератора слов отображаются кодовые комбинации в шестнадцатеричном коде, а в нижней части - в двоичном.
7. Заполним окно шестнадцатеричного кода кодовыми комбинациями, начиная с 0 в верхней нулевой ячейке и далее с прибавлением 1 в каждой последующей ячейке. С этой целью щелкните по кнопке , в появившемся окне предустановок включите опцию Up counter и щелкните по кнопке Accept .
8. В окне Frequency установите частоту формирования кодовых комбинаций равной 1 Гц.
Последовательности двоичных чисел 00, 01, 10 и 11 соответствует в шестнадцатеричном коде - 0, 1, 2, 3. Запрограммируем генератор на периодическое формирование указанной последовательности чисел.
9. Наберите в окне Final число0003 ищелкните на кнопкеCycle .
10. Запустите процесс моделирования при помощи выключателя. Наблюдайте, при каких сочетаниях входных сигналов на выходе логического элемента появится "1". Щелкая по кнопке Step , заполните в Отчете таблицу истинности для элемента "ИЛИ-НЕ". Остановите процесс моделирования при помощи выключателя.
11. Сохраните файл в папке с вашей Фамилией под именем Zan_17_01 .
Цель работы – Практическое изучение логических элементов, реализующих элементарные функции алгебры логики (ФАЛ ). Экспериментальное исследование логических элементов, построенных на отечественных микросхемах серии К155, К561.
1. Краткие теоретические сведения
1.1. Математической основой цифровой электроники и вычислительной техники является алгебра логики или булева алгебра (по имени английского математика Джона Буля).
В булевой алгебре независимые переменные или аргументы (X) принимают только два значения: 0 или 1. Зависимые переменные или функции (Y) также могут принимать только одно из двух значений: 0 или 1. Функция алгебры логики (ФАЛ) представляется в виде:
Y = F (X 1 ; X 2 ; X 3 ... X N).
Данная форма задания ФАЛ называется алгебраической.
1.2. Основными логическими функциями являются:
Логическое отрицание (инверсия)
Логическое сложение (дизьюнкция)
Y = X 1 + X 2 или Y = X 1 V X 2 ;
Логическое умножение (коньюнкция)
Y = X 1 ·X 2 или Y = X 1 X 2 .
К более сложным функциям алгебры логики относятся:
Функция равнозначности (эквивалентности)
Y = X 1 ·X 2
+
или Y = X 1
~
X 2
;
Функция неравнозначности (сложение по модулю два)
Y =
+
или Y = X 1
X 2
;
Функция Пирса (логическое сложение с отрицанием)
Y =
;
Функция Шеффера (логическое умножение с отрицанием)
Y =
;
1.3. Для булевой алгебры справедливы следующие законы и правила:
Распределительный закон
X 1 (X 2 + X 3) = X 1 ·X 2 + X 1 ·X 3 ,
X 1 + X 2 ·X 3 = (X 1 + X 2) (X 1 + X 3) ;
Правило повторения
X·X = X , X + X = X ;
Правило отрицания
X·
= 0 , X +
= 1 ;
Теорема де Моргана: Чтобы получить дополнительную булеву функцию, инвертируйте каждую переменную и замените И на ИЛИ
=
,
=
;
Тождества
X·1 = X, X + 0 = X, X·0 = 0 , X + 1 = 1.
1.4. Схемы, реализующие логические функции, называются логическими элементами. Основные логические элементы имеют, как правило, один выход (Y) и несколько входов, число которых равно числу аргументов (X 1 ; X 2 ; X 3 ... X N). На электрических схемах логические элементы обозначаются в виде прямоугольников с выводами для входных (слева) и выходных (справа) переменных. Внутри прямоугольника изображается символ, указывающий функциональное назначение элемента.
На рис. 2.1 2.10 представлены логические элементы, реализующие рассмотренные ниже функции. Там же представлены так называемые таблицы состояний или таблицы истинности, описывающие соответствующие логические функции в двоичном коде в виде состояний входных и выходных переменных. Таблица истинности является также табличным способом задания ФАЛ.
На рис. 2.1 представлен элемент “НЕ.
Рисунок 2.1. Элемент “НЕ”, реализующий
функцию логического отрицания Y =
Элемент “ИЛИ” (рис. 2.2) и элемент “И” (рис. 2.3) реализуют функции логического сложения и логического умножения соответственно.
Рисунок 2.2
Рисунок 2.3
Функции Пирса и функции Шеффера реализуются с помощью элементов “ИЛИ-НЕ” и “И-НЕ”, представленных на рис. 2.4 и рис. 2.5 соответственно.
Рисунок 2.4
Рисунок 2.5
Элемент Пирса можно представить в виде последовательного соединения элемента “ИЛИ” и элемента “НЕ” (рис. 2.6), а элемент Шеффера – в виде последовательного соединения элемента “И” и элемента “НЕ” (рис. 2.7).
На рис. 2.8 и рис. 2.9 представлены элементы “Исключающее ИЛИ” и “Исключающее ИЛИ - НЕ”, реализующие функции неравнозначности и неравнозначности с отрицанием соответственно.
Рисунок 2.8
Рисунок 2.9
1.5. Логические элементы, реализующие операции коньюнкции, дизьюнкции, функции Пирса и Шеффера, могут быть, в общем случае, n - входные. Так, например, логический элемент с тремя входами, реализующий функцию Пирса, имеет вид, представленный на рис. 2.10.
Рисунок 2.10
В таблице истинности (рис. 2.10) в отличие от таблиц (рис. 2.4) имеется восемь значений выходной переменной Y. Это количество определяется числом возможных комбинаций входных переменных N, которое, в общем случае, равно: N = 2 n , где n - число входных переменных.
1.6. Логические элементы используются для построения интегральных микросхем, выполняющих различные логические и арифметические операции и имеющих различное функциональное назначение. Микросхемы типа К155ЛН1 и К155ЛА3, например, имеют в своем составе шесть инверторов и четыре элемента Шеффера соответственно (рис. 2.11), а микросхема К155ЛР1 содержит элементы разного вида (рис. 2.12).
Рисунок 2.11
Рисунок 2.12
1.7. Функции алгебры логики любой сложности можно реализовать с помощью указанных логических элементов. В качестве примера рассмотрим ФАЛ, заданную в алгебраической форме, в виде:
Упростим данную ФАЛ, используя вышеприведенные правила. Получим:
(2)
Проведенная операция носит название минимизации ФАЛ и служит для облегчения процедуры построения функциональной схемы соответствующего цифрового устройства.
Функциональная схема устройства, реализующая рассматриваемую ФАЛ, представлена на рис. 2.13.
Рисунок 2.13
Следует отметить, что полученная после преобразований функция (2) не является полностью минимизированной. Полная минимизация функции проводится студентами в процессе выполнения лабораторной работы.
Оборудование: Лабораторный стенд ЛКЭЛ – 4М 08 «Цифровая и цифро-аналоговая схемотехника»
2.1. Исследовать особенности функционирования логических элементов НЕ, 2ИЛИ, 2И, 2И-НЕ, 3И-НЕ, расположенных на панели стенда. Для исследования элемента НЕ, расположенного в левой части монтажного поля сигнал на вход подавать путем нажатия на черную кнопку. При этом свечение красного светодиода говорит о наличии «1» на входе и соответственно «0» на выходе. Для исследования остальных элементов за входной сигнал, как вариант, взять сигнал с гнезда, расположенного рядом со светодиодом. Построить таблицу истинности для каждого элемента, взяв за образец таблицу 1. Для измерений состояний и значений напряжений входа и выхода использовать осциллограф (вольтметром, расположенным на стенде).
2.1.1. Минимизировать функцию (2) используя различные варианты (можно один), разработать схему, исходя из наличия элементов на панели стенда, и реализовать ее на панели стенда. Результаты занести в таблицу 2.
2.1.2. По результатам исследований (п. 2.1.1) определить функциональное назначение элементов и проставить их обозначение на схеме в лабораторном отчете.
Название и цель работы.
Схема выполнения экспериментов.
Заполненные таблицы 2.1 и 2.2.
Результаты измерений U 0 и U 1 (п. 2.1).
Выводы по работе.
4. Контрольные вопросы.
Какими значениями переменных оперирует алгебра логики?
Основные формы задания ФАЛ.
Вид основных логических функций в алгебраической форме.
Что такое “логический элемент”?
Какие логические функции выполняют элементы Пирса и Шеффера?
Чем определяется число возможных комбинаций входных переменных для произвольного логического элемента?
Дать определение СДНФ, СКНФ.
Таблица 2.1 Таблица 2.2
Цель работы . Ознакомление с основными функциями и законами алгебры логики, характеристиками логических микросхем, основами анализа и синтеза простых и сложных логических схем.
Краткие теоретические сведения.
Анализ работы цифровых устройств и синтез логических цепей производится на основе математического аппарата алгебры логики или «булевой» алгебры, оперирующей только двумя понятиями: истинным (логическая «1») и ложным (логический «0»). Функции, отображающие такую информацию, а также устройства, формирующие функции алгебры логики, называются логическими. Логические функции нескольких переменных определяют характер логических операций, в результате которых набору входных переменных x 0 , x 1 ,…, x n -1 ставится в соответствие выходная переменная F
F = f (x 0 , x 1 ,…, x n -1 ).
Функция преобразования характеризуется таблицей, в которой каждой комбинации входных переменных соответствует значение выходной переменной F . Ее называют таблицей истинности.
Основными функциями алгебры логики, с помощью которых можно осуществлять любые логические преобразования, являются логическое умножение (конъюнкция), логическое сложение (дизъюнкция) и логическое отрицание (инверсия).
Алгебра логики позволяет преобразовывать формулы, описывающие сложные логические зависимости, с целью их упрощения. Это помогает в конечном итоге определять оптимальную структуру того или иного цифрового автомата, реализующего любую сложную функцию. Под оптимальной структурой принято понимать такое построение автомата, при котором число входящих в его состав элементов минимально.
Основные законы алгебры логики .
Переместительный закон:
a + b = b + а; ab = ba .
Сочетательный закон:
(a + b) + c = a + (b + c); (ab)c = a(bc).
Распределительный закон:
a(b + c) = ab + ac; a + bc = (a + b)(a +c).
Закон поглощения:
a + ab = a(1 + b) = a; a(a + b) = a + ab = a.
Закон склеивания:
ab
+
a
=
a
;
(a
+
b
)(a
+
)
=
a
.
Закон отрицания:
или
.
Логические элементы . Логические элементы используют в качестве значений входных и выходных напряжений лишь два уровня: «высокий» и «низкий». Если логическому «0» соответствует напряжение низкого уровня, а логической «1» – высокого, то такую логику называют положительной, и наоборот, если за логический «0» принимают напряжение высокого уровня, а за логическую «1» – напряжение низкого уровня, то такую логику называют отрицательной. В транзисторно-транзисторной логике (ТТЛ) напряжение логического «0» – U 0 составляет десятые доли вольт (менее 0,4 В), а напряжение логической «1» – U 1 >2,4 В. Логические элементы реализуют простейшие функции или систему функций алгебры логики.
|
Таблица 1 |
|
|
|
|
ростейшей
функцией алгебры логики является
функция НЕ. Она реализуется с помощью
инвертора, условное графическое
обозначение которого приведено на рис.
1. На вход инвертора подается величинаX
,
которая может принимать два значения:
«0» и «1». Выходная величина Y
,
при этом тоже принимает два значения:
«1» и «0». Взаимно однозначное соответствие
X
и Y
дается таблицей истинности (табл. 1),
причем значение выходной величины Y
зависит не от предыдущих значений, а
лишь от текущего значения входной
величины X
:
Y
=
.Это справедливо для всех логических элементов, не имеющих памяти, у которых в таблице истинности значение Y не зависит от порядка строк.
|
Таблица 2 |
||
|
|
|
|
огическими
элементами, реализующими функции
логического сложения и логического
умножения, являются элементы ИЛИ и И.
Таблицы истинности для этих элементов
однозначно связывают значение выходной
величиныY
со значениями двух (или более) входных
величин х
l
,
х
2
,
... x
n
.
Условные графические обозначения
логических элементов ИЛИ и И приведены
соответственно на рис. 2 и 3, а их таблицы
истинности – в таблицах 2 и 3. Например,
для логического элемента 2-ИЛИ,
реализующего дизъюнкциюY = х l + х 2 или Y = х l х 2 ,
а для элемента 2-И, реализующего конъюнкцию
Y = х l х 2 или Y = х l х 2 .
|
Таблица 3 |
||
|
|
|
|
а
наборе логических элементов И,
ИЛИ, НЕ можно реализовать любую сколь
угодно сложную логическую функцию,
поэтому данный набор элементов
называют функционально полным.На практике часто используется расширенный набор логических элементов, позволяющих также составлять функционально полные системы. К ним относятся элементы:
ИЛИ-НЕ (элемент Пирса), реализующий функцию
;
И-НЕ (элемент Шеффера), реализующий функцию
.
Их обозначения и таблицы истинности приведены на рис. 4 и в табл. 4.
|
Таблица 4 |
|||
|
|
|
|
|
В частности функционально полные системы могут состоять из элементов только одного типа, например, реализующих функцию И-НЕ либо ИЛИ-НЕ.
Комбинационные логические цепи – это такие цепи, выходные сигналы которых однозначно определяются сигналами, присутствующими на их входах в рассматриваемый момент времени и не зависят от предыдущего состояния.
Набор логических элементов, входящих в состав учебного стенда по основам цифровой техники не содержит элементов, реализующих функцию ИЛИ-НЕ, что ограничивает число вариантов построения логических схем при их синтезе и позволяет составлять схемы только в базисе элементов И-НЕ.
Прежде чем перейти к вопросам анализа и синтеза логических устройств в заданном базисе элементов (И-НЕ), необходимо составить таблицу, в которую будут сведены все возможные формы представления выходных сигналов указанных элементов при условии, что на их входы поданы логические переменные х l и х 2 . При синтезе схем можно использовать два технических приема: двойное инвертирование входного исходного выражения или его части и применение теорем Де-Моргана. При этом функция преобразуется к виду, содержащему только операции логического умножения и инверсии, и переписывается через условные обозначения операции И-НЕ и НЕ.
Последовательность проведения анализа и синтеза комбинационных логических цепей:
Составление таблицы функционирования логической цепи (таблицы истинности).
Запись логической функции.
Минимизация логической функции и преобразование ее к виду, удобному для реализации в заданном базисе логических элементов (И-НЕ, НЕ).
Пример проведения анализа и синтеза логических цепей .
Пусть необходимо построить мажоритарную ячейку (ячейку голосования) на три входа, т.е. такую ячейку, у которой сигнал на выходе равен единице тогда, когда на двух или трех входах цепи присутствует сигнал единицы, в противном случае выходной сигнал должен быть равен нулю.
Вначале заполним таблицу истинности (табл. 5). Поскольку в данном случае имеются три входных сигнала х 1 , х 2 , х 3 , каждый из которых может принимать одно из двух возможных значений (0 или 1), то всего может быть восемь различных комбинаций этих сигналов. Четырем из этих комбинаций будет соответствовать выходной сигнал F , равный единице.
Таблица 5
|
x 1 |
x 2 |
x 3 | ||
Если в синтезируемой таблице истинности выходная величина чаще принимает значение «1», то синтезируются строки, в которых выходная величина равна «0».
При выполнении заданной процедуры получим функцию
F = . (1)
Для минимизации (упрощения) данной функции нужно применить основные законы алгебры логики. Возможна следующая последовательность преобразований, например, с применением закона склеивания (теоремы Де-Моргана):
F = =
+
=
. (2)
Как видно, полученное конечное выражение гораздо проще исходного.
Аналогично проводится анализ (составление таблиц истинности) и более сложных логических схем.
Для выполнения задания предлагается набор наиболее распространенных логических элементов (рис. 5).
Рис.
5. Набор логических элементов для
выполнения задания
Задание к лабораторной работе
1. Составить таблицы истинности для всех логических элементов, приведенных на рис. 5.
2. Для каждого логического элемента из набора представленных на рис. 5. составить логические выражения, реализующие их функции в базисе логических элементов НЕ и И-НЕ и начертить полученные тождественные схемы.
3. Собрать рассмотренные схемы на стенде и, путем перебора комбинаций входных сигналов, составить их таблицы истинности.
4. Используя законы отрицания (теоремы Де-Моргана) произвести преобразование минимизированной функции (2) для реализации ее в базисе логических элементов НЕ и И-НЕ и начертить полученную тождественную схему.
5. Собрать представленную схему на стенде и, путем перебора комбинаций входных сигналов, проверить соответствие ее работы таблице истинности (табл. 5).
Контрольные вопросы
Что такое функционально полная система и базис логических элементов?
В чем особенности синтеза логических устройств?
В чем заключаются принципы минимизации логических устройств?
Назовите основные операции булевой алгебры.
Что отражают теоремы булевой алгебры? Сформулировать теоремы Де-Моргана: поглощения и склеивания.
Какие цифровые устройства называются комбинационными?
ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА № 5
СЕРГИЕВ ПОСАД
Лабораторная работа № 1
Логические функции, ЭЛЕМЕНТЫ и схемы
Цель работы
Исследование логических функций, логических элементов и схем.
Приборы и элементы
Логический преобразователь.
Генератор слов.
Вольтметр.
Логические пробники.
Источник напряжения + 5 В.
Источник сигнала "логической единицы".
Двухпозиционные переключатели.
Двухвходовые элементы И, И-НЕ, ИЛИ, ИЛИ-НЕ.
Микросхемы серии 74.
Краткие сведения из теории
Аксиомы алгебры логики
Переменные, рассматриваемые в алгебре логики, могут принимать только два значения - 0 или 1. В алгебре логики определены отношение эквивалентности (обозначается знаком =), операции сложения (дизъюнкции), обозначаемая знаком , умножения (конъюнкции), обозначаемая знаками &, или точкой, и отрицания (или инверсии), обозначаемая надчеркиванием или апострофом ".
Алгебра логики определяется следующей системой аксиом:
x = 1, если x 0; x = 0, если x 1;
0&0 = 0; 1 1 = 1
1&1 = 1; 0 0 =0;
1&0 = 0&1 = 0; 0 1 = 1 0 = 1;
Логические выражения
Запись логических выражений обычно осуществляют в конъюнктивной или дизъюнктивной нормальных формах. В дизъюнктивной форме логические выражения записываются как логическая сумма логических произведений, в конъюнктивной форме – как логическое произведение логических сумм. Порядок действий такой же, как и в обычных алгебраических выражениях. Логические выражения связывают значение логической функции со значениями логических переменных.
Логические законы и тождества
При преобразованиях логических выражений используются следующие логические законы и тождества
Логические функции
Любое логическое выражение, составленное из n переменных с помощью конечного числа операций алгебры логики, можно рассматривать как некоторую функцию n переменных. Такую функцию называют логической. В соответствии с аксиомами алгебры логики функция может принимать в зависимости от значения переменных значение 0 или 1. Функция n логических переменных может быть определена для 2 n значений переменных, соответствующих всем возможным значениям n-разрядных двоичных чисел Основной интерес представляют следующие функции двух переменных х и у
f 1 (x,y) = x & y = x y = x – логическое умножение (конъюнкция),
f 2 (x,y) = x y – логическое сложение (дизъюнкция),
f 3 (x,y) = = – штрих Шеффера,
f 4 (x,y) = = – стрелка Пирса,
f 5 (x,y) = x y = – сложение по модулю 2,
f 6 (x,y) = 
– равнозначность.
Логические схемы
Физическое устройство, реализующее одну из операций алгебры логики или простейшую логическую функцию, называется логическим элементом. Схема, составленная из конечного числа логических элементов по определенным правилам, называется логической схемой. Основным логическим функциям соответствуют выполняющие их схемные элементы.
Таблица истинности
Так как область определения любой функции n переменных конечна (2 n значений), такая функция может быть задана таблицей значений f(i), которые она принимает в точках i, где i= 0,…,2 n -1. Такие таблицы называют таблицами истинности. В таблице 1 представлены таблицы истинности, задающие указанные выше функции.
Таблица 1
| Значения переменных | ||||||||
| x | у | f 1 | f 2 | f 3 | f 4 | f 5 | f 6 | |
| 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 1 | 1 | 0 | 1 |
| 1 | 0 | 1 | 0 | 1 | 1 | 0 | 1 | 0 |
| 2 | 1 | 0 | 0 | 1 | 1 | 0 | 1 | 0 |
| 3 | 1 | 1 | 1 | 1 | 0 | 0 | 0 | 1 |
Карты Карно
Если число логических переменных не превышает 5-6, преобразования логических уравнений удобно производить с помощью карт Карно. Цель преобразований - получение компактного логического выражения (минимизация). Минимизацию производят объединением соседних наборов (термов). Объединяемые наборы должны иметь одинаковые значения функции (все 0 или все 1). Для наглядности рассмотрим пример: пусть требуется найти логическое выражение для мажоритарной функции f m трех переменных x, у, z, описываемой таблицей истинности, показанной в Таблице 2.
Таблица 2
Мажоритарная функция
| № | x | y | z | f m |
| 0 | 0 | 0 | 0 | 0 |
| 1 | 0 | 0 | 1 | 0 |
| 2 | 0 | 1 | 0 | 0 |
| 3 | 0 | 1 | 1 | 1 |
| 4 | 1 | 0 | 0 | 0 |
| 5 | 1 | 0 | 1 | 1 |
| 6 | 1 | 1 | 0 | 1 |
| 7 | 1 | 1 | 1 | 1 |
Здесь номер строки равен числу i= 2 2 x+2 1 y+2 0 z, образованному значениями переменных.
Составим карту Карно. Она представляет собой нечто похожее на таблицу, в которой наименования столбцов и строк представляют собой значения переменных, причем переменные располагаются в таком порядке, чтобы при переходе к соседнему столбцу или строке изменялось значение только одной переменной. Например, в строке xy таблицы 3 значения переменных xy могут быть представлены следующими последовательностями 00,01,11,10 или 00,10,11,01. Таблицу заполняют значениями функции, соответствующими комбинациям значений переменных. Полученная таким образом таблица выглядит, как показано ниже (таблица 3).
Таблица 3
Карта Карно
мажоритарной функции
xy  z
| 00 | 01 | 11 | 10 |
| 0 | 0 | 0 | 1 | 0 |
| 1 | 0 | 1 | 1 | 1 |
На карте Карно отмечаем группы, состоящие из 2 k соседних ячеек (2,4,8,) и содержащие 1, так как они описываются простыми логическими выражениями. Три овала в таблице определяют логические выражения xy, xz, yz. Каждый овал, объединяющий две ячейки, соответствует логическим преобразованиям:
Компактное выражение, описывающее функцию, представляет собой дизъюнкцию полученных при помощи карт Карно логических выражений. В результате получаем выражение в дизъюнктивной нормальной форме
f m = xy v xz v yz .
Если объединять 0, то получим выражение в конъюнктивной нормальной форме
f m = (x v y)(x v z)(y v z).
При реализации мажоритарной функции трех логических переменных получим схему, которая при подаче на ее входы трех сигналов сформирует на выходе сигнал, равный сигналу на большинстве входов (2 из 3 или 3 из 3). Эта схема применяется для восстановления истинного значения сигналов, поступающих на 3 входа, если возможна ошибка на одном из входов.
Для реализации этой функции на элементах 2И-НЕ необходимо провести следующие преобразования:
Для ДНФ получилось более простое выражение, поэтому его и следует реализовать. Соответствующая схемная реализация приведена на рис. 1.
 |
Рис. 1
ИССЛЕДОВАНИЕ ЛОГИЧЕСКИХ ЭЛЕМЕНТОВ
